Почему определитель матрицы равен 0. Определитель матрицы и его свойства

Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной) , если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени .

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной ), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (4.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (4.4)

где индексы q 1 , q 2 ,...,q n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1) q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или detA = (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = b j + c j (j = 1,...,n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j , в другом - из элементов c j .

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M i j элемента a i j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a i j определителя d называется его минор M i j , взятый со знаком (-1) i + j . Алгебраическое дополнение элемента a i j будем обозначать A i j . Таким образом, A i j = (-1) i + j M i j .

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)

или j- го столбца

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =1,...,n).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Формула вычисления определителя третьего порядка.

Для облегчения запоминания этой формулы:

Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю..

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_{n\times n}=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум , и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $\Delta A=\Delta A^T$.
показать\скрыть

Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка - стал первый столбец", "была вторая строка - стал второй столбец":

Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.
Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :
$$\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.
Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0$.
Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0$.
Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3\cdot{r_2}$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0$.
Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:
$$\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|$$
Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:
$$ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| $$
Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot{r_3}$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.
$$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. $$
Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Выражение
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Для примера рассмотрим такой определитель:
$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end{array} \right| $$
В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:
$$ r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3 $$
Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.
Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:
$$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right| $$
Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Из этого правила можно получить такую формулу: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Если матрица $A$ - невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$.

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

\begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation}

Примеры применения формул (1) и (2) есть в теме "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей" .

Определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) .

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:

\begin{aligned} &\left| \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array} \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin{array} {cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end{array} \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end{aligned}

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число kравносильно умножению определителя на это число k. Например,

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, .

6) Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Минором элемента определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя – го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение: .

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

7) Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы , похожие на обратные по многим свойствам.

8)Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба.

Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M - базисный минор матрицы A, тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .

Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .

Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле

|А | = .

Например, |А | = .

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.

Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:

А ij = (-1) i + j М ij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.

Например, для элементов а 11 и а 12 матрицы А = миноры

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А | = а i1 A i1 + а i2 A i2 + … + а in A in ,
для любого i = 1, 2, …, n

|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.

А ×А -1 = А -1 × А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

СЕМИНАР 6

Вычисление определителей матриц, свойства определителей.

Вводная информация

Определитель матрицы.

Понятие определителя матрицы, который обозначается через или , имеет смысл только для квадратных матриц. Введем это понятие последовательно, увеличивая размерность матриц.

Пример.
.

Пример.

Определитель n -го порядка.

Определение. Минором элемента
-матрицы называется определитель
-го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы после вычеркивания в ней -ой строки и -го столбца. Минор элемента будем обозначать
.

Пример. Пусть
, тогда
.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение
на минор
и обозначается , т.е.
.

Пример. Пусть
, тогда
.

Определение. Определителем -го порядка (или определителем матрицы ) называется число
, равное
. Формула
называется разложением определителя по -ой строке.

Пример. Разложим определитель по второй строке и вычислим его. .

Формула разложения определителя матрицы по -ому столбцу имеет вид
.

Пример. Разложим определитель по третьему столбцу и вычислим его. .

Свойства определителей .

Перечислим основные свойства определителей.

Пример.

.

8. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с учетом их порядка пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю.

10. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число , то величина определителя не изменится.

11. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Вычисление определителя методом разложения его по строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке (столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении определителей большой размерности целесообразно предварительно, используя перечисленные свойства определителей, сформировать такие строки (столбцы).

Пример.
/ прибавим третий столбец ко второму столбцу/
/ вычтем четвертую строку из третьей строки/
/ разложим определитель по второму столбцу/
/вычтем вторую строку из первой строки/
/прибавим третий столбец ко второму столбцу/
/разложим определитель по первой строке/
/ умножим первую строку на 2 и вычтем ее из второй строки/
/разложим определитель по первому столбцу/ .

Метод Гаусса .

В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса , основанный на приведении определителя с помощью указанных выше преобразований к треугольному виду.

Пример. Вычислим методом Гаусса тот же определитель, что и в предыдущем примере.
/ вычитая первую строку из второй, третьей и четвертой, делаем нулевыми элементы в них, стоящие в первом столбце (перед вычитанием из третьей строки умножим первую строку на 3)/
/ поменяем местами третью и четвертую строку/
/ умножим вторую строчку на и вычтем ее из четвертой строки/
/ вычтем третью строку из четвертой/
/используя свойства треугольной матрицы, вычисляем определитель/ .

Метод рекуррентных соотношений .

Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений .

Пример. Вычислим методом рекуррентных соотношений определитель -го порядка

. Разложим его по последнему столбцу.

/ разложим теперь определитель во втором слагаемом по последней строке/

. Замечаем, что мы теперь имеем три определителя одинаковой структуры, но разной размерности. Если мы обозначим первоначальный определитель -го порядка через , то можно написать рекуррентное соотношение
. Чтобы воспользоваться этим соотношением, вычислим несколько первых определителей:
.

Заметим, что

. Следовательно, можно записать и т. д. Вычисление первых определителей дает общую формулу
. Чтобы завершить доказательство, проверим справедливость этой формулы методом математической индукции. Предполагая, что эта формула верна для определителя -го порядка, мы должны показать, что определитель
-го порядка равен
. Находим, используя рекуррентное соотношение, . Полученное выражение доказывает справедливость формулы
.